Hempels Paradox (auch: Rabenparadox) ist ein nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel benanntes Problem aus der Erkenntnistheorie und Logik. Das Paradoxon besteht darin, dass eine Allaussage über die Eigenschaft bestimmter Objekte scheinbar durch Beobachtungen beliebiger anderer Objekte ohne diese Eigenschaft bestätigt werden kann. Nach Hempel könnte z. B. die Gültigkeit der Aussage "Alle Raben sind schwarz" durch die Beobachtung eines weißen Schuhs bestätigt werden, was kontraintuitiv ist.

Das Paradox ist zuerst im Dezember 1940 von Janina Hosiasson-Lindenbaum im Journal of Symbolic Logic[1] publiziert und Hempel zugeschrieben worden, 1943 tauchte es dann in Hempels Arbeit A purely syntactical definition of confirmation in der gleichen Zeitschrift auf.

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Hempel beginnt seine Argumentation mit einer weit verbreiteten Auffassung, die er dem französischen Logiker Jean Nicod (1893 - 1924) zuschreibt.

Nicods Kriterium besagt, dass eine Hypothese der Form:

Für alle x: Wenn x ein F ist, dann ist x auch ein G.

durch ein Objekt a bestätigt ist, wenn gilt, dass a zugleich ein F und ein G ist.

Demgegenüber wird die in der Frage stehende Hypothese durch ein Objekt a geschwächt, wenn gilt, dass a zwar ein F, aber nicht ein G ist. Und ein Objekt a ist für die Frage stehende Hypothese irrelevant, gdw. gilt, dass a kein F ist.

Beispiel: Nehmen wir die Hypothese, dass wenn x ein Säugetier ist, dann ist x auch ein Lebewesen. Diese Hypothese wird durch eine Wildkatze bestätigt, die sowohl Säugetier als auch Lebewesen ist. Sie wird aber durch ein x geschwächt, wenn dieses zwar Säugetier, aber kein Lebewesen ist. Und durch ein x, das weder Säugetier noch Lebewesen ist, wird die Hypothese nicht tangiert.

Auf den ersten Blick spricht fast[2] nichts gegen Nicods Kriterium. Es erscheint überhaupt nicht diskussionsbedürftig, dass die Hypothese "Alle Raben sind schwarz" durch ein a, das ein Rabe und schwarz ist, bestätigt, durch ein a, das ein Rabe und nicht schwarz ist, attackiert und durch ein a, das kein Rabe ist, überhaupt nicht tangiert wird. In der Wissenschaftstheorie und Logik sollten aber immer, wenn etwas vollkommen einleuchtend zu sein scheint, alle Alarmglocken schrillen, und Nicods Kriterium ist hier keine Ausnahme.

Werfen wir einen Blick auf die folgenden beiden Hypothesen:

S1: Für alle x gilt: Wenn x ein Rabe ist, dann ist x auch schwarz.

S2: Für alle x gilt: Wenn x nicht schwarz ist, dann ist x auch kein Rabe.

Nehmen wir nun weiter an, dass wir es mit vier Objekten zu tun haben, nämlich mit a, b, c und d. a ist ein Rabe und schwarz, b ist ein Rabe und nicht schwarz, c ist kein Rabe, aber schwarz, und d ist weder ein Rabe noch schwarz.

Nicods Kriterium zufolge gilt nun Folgendes: a bestätigt S1, ist aber gegenüber S2 neutral. b schwächt S1 und S2. c ist sowohl gegenüber S1 und S2 neutral. Und d bestätigt S2, ist aber neutral gegenüber S1.

Schematisch lässt sich das Ganze dann wie folgt darstellen:

Das Problem, um das es Hempel geht, wird deutlich, wenn wir Objekt d genauer unter die Lupe nehmen: Wir haben d als ein Objekt bestimmt, das weder ein Rabe, noch schwarz ist. D könnte also alles Mögliche sein: ein gelber Turnschuh, ein rotes Auto oder ein himmelblauer Panzer. Alle diese Gegenstände bestätigen S2, weil S2 ja von allen jenen Objekten bestätigt wird, die nicht schwarz und auch kein Rabe sind.

Ein Schritt fehlt uns noch, um Hempels Problem in seiner vollen Tragweite zu erkennen. Dieser letzte Schritt betrifft das Verhältnis, das zwischen den Hypothesen S1 und S2 besteht: S1 und S2 sind - um es kurz und bündig zu sagen - logisch äquivalent. Zwei Aussagen sind dann logisch äquivalent, wenn eine aus der anderen allein durch Anwendung gewisser logischer Umformungsregeln gewonnen werden kann. Im vorliegenden Fall genügt etwa die Anwendung der Kontraposition, um von S1 zu S2 oder von S2 zu S1 zu gelangen.

Es gilt: R (Rabe sein) ist eine hinreichende Bedingung für S (schwarz sein), also R -> S. Deshalb ist schwarz zu sein eine notwendige Bedingung zum Rabe sein und nicht-schwarz sein auch eine notwendige Bedingung um kein Rabe zu sein.

Da aber der Übergang von S1 zu S2 oder von S2 zu S1 nur eine Sache der logischen Umformung ist, gilt gleichzeitig auch, dass S1 und S2 dieselben Wahrheitswerte haben und durch dieselben Daten bestätigt werden!

Warum das so ist, wird deutlich, wenn wir S1 und S2 mit den beiden Aussagen "Am Gang steht ein Sessel" und "These is a chair in the hallway" vergleichen: Auch hier ist eine Aussage in die andere durch Anwendung gewisser (nicht idealsprachlicher) Übersetzungsregeln überführbar. Und auch hier gilt, das, wenn eine Aussage wahr ist, auch die andere wahr sein muss, und dass überdies beide Aussagen durch dieselben Daten bestätigt werden (nämlich durch einen Sessel am Gang). Die so genannte Äquivalenzbedingung bringt genau dies zum Ausdruck: Was immer eine von zwei äquivalenten Aussagen bestätigt, bestätigt auch die andere Aussage. Ob eine Bestätigung vorliegt, hängt schließlich nicht von Fragen der Übersetzung ab.

Hempels (Raben-)Paradoxon resultiert nun aus der offensichtlichen Spannung, die zwischen Nicods Kriterium und der Äquivalenzbedingung besteht. Machen wir das Problem Schritt für Schritt deutlich:

P1. S2 wird durch gelbe Turnschuhe, rote Autos und himmelblaue Panzer bestätigt (Nicods Kriterium)

P2. Alles, was eine von zwei äquivalenten Aussagen bestätigt, bestätigt auch die andere Aussage. (Äquivalenzbedingung)

P3. S2 und S1 sind logisch äquivalent.

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K1. Ergo: S1 wird auch durch gelbe Turnschuhe, rote Autos und himmelblaue Panzer (ganz generell: durch alle nicht schwarzen Nicht Raben) bestätigt. (Hempels Paradox)

Nochmal zusammengefasst: Es gilt die Hypothese "Alle Raben sind schwarz". Nach Nicods Kriterium sind Objekte, die keine Raben sind, für diese Hypothese irrelevant. Was ist nun aber, wenn ich ein nicht-schwarzes Objekt sehe, das kein Rabe ist, z. B. weiße Schuhe? Die vorbenannte Hypothese kann unter Erhalt ihres Wahrheitswertes durch Anwendung logischer Transformationsregeln (hier nach klassischer Terminologie eine Kontraposition) logisch-äquivalent umformuliert werden in: "Alle nicht-schwarzen Objekte sind keine Raben". Die so formulierte Hypothese scheint durch die weißen Schuhe bestätigt zu werden. Da diese Hypothese logisch äquivalent zur Ausgangshypothese ist, wird somit scheinbar durch weiße Schuhe oder gelbe Autos die Hypothese "Alle Raben sind schwarz" bestätigt.

Dieses Ergebnis wirft einige Fragen auf. Eine davon ist diese: Macht es überhaupt noch Sinn, von empirischer Bestätigung zu sprechen, wenn eine Allausage, die von der Farbe von Raben handelt, von allen Objekten bestätigt wird, die keine Raben sind? Warum sollten Turnschuhe, Autos und Panzer relevant sein, wenn es um die Farbe von Raben geht?[3]

Die meisten werden zustimmen, dass das Ergebnis von Hempels Raben-Paradoxon nicht nur kontraintuitiv, sondern auch ziemlich beunruhigend ist. Es widerspricht einigen unserer grundlegendsten Intuitionen über das Wesen empirischer Bestätigungen, dass Turnschuhe, Autos und Panzer relevant sein können, wenn es um die Frage nach schwarzen Raben geht. Hempels Vorschlag, wie mit diesem Problem umgegangen werden sollte, ist sehr radikal: Nach Hempel müssen wir unsere Intuition ganz einfach über Bord werfen und akzeptieren, dass die Aussage "Alle Raben sind schwarz" in der Tat durch gelbe Turnschuhe, rote Autos und himmelblaue Panzer (zumindest ein wenig) bestätigt wird. Das Gewicht, das ein gelber Turnschuh bei der Bestätigung der fraglichen Allaussage hat, mag zwar gegenüber dem Gewicht eines schwarzen Raben sehr gering sein. Gelbe Turnschuhe sind aber laut Hempel insofern bestätitungsrelevant, als die Aussage "Alle Raben sind schwarz" streng genommen nicht nur von Raben handelt, sondern vom Universum insgesamt - und damit auch von gelben Turnschuhen.

Wie kommt Hempel darauf, dass die Aussage "Alle Raben sind schwarz" nicht nur von Raben, sondern vom Universum insgesamt handelt? Nun, im selben Sinn, in dem ein Äquivalenzverhältnis zwischen S1 und S2, also zwischen den Aussagen "Alle Raben sind schwarz" und "Alles nicht Schwarze ist nicht Rabe" besteht, sind auch "Alle Raben sind schwarz" und "Alles ist entweder ein Rabe und schwarz oder kein Rabe" äquivalent. Die letztgenannte Aussage handelt aber tatsächlich nicht mehr nur von Raben, sondern unterteilt das Gesamt aller Ding ein drei Klassen, nämlich in jene der nicht schwarzen Raben, der schwarzen Raben und der Nicht-Raben. Da nur Exemplare der ersten Klasse zur Falsifikation der Aussage "Alle Raben sind schwarz" führen, sieht es Hempel als akzeptables Resultat an, dass gelbe Turnschuhe die Ausssage "Alle Raben sind schwarz" bestätigen.

Diese Auffassung unterstrich Hempel mit zwei beispielhaften Allaussagen:

(1) "Alle Natriumsalze brennen mit gelblicher Flamme".

(2) "Alles was nicht mit gelblicher Flamme brennt, ist kein Natriumsalz".

(1) und (2) sind erneut logisch-äquivalent. Wenn wir nun etwas, dessen Zusammensetzung wir nicht kennen, in die Flamme halten, und es nicht gelblich brennt, und wenn wir dann erfahren, dass es kein Natriumsalz war, dann bestätigt das nach Hempel die Hypothese "Alles was nicht mit gelblicher Flamme brennt, ist kein Natriumsalz". In diesem Fall ist es ist nicht mehr ganz so unplausibel, darin eine Bestätigung für "Alle Natriumsalze brennen mit gelblicher Flamme" zu sehen. Der Unterschied liegt laut Hempel in der Menge an Informationen, die wir vor ab besitzen.[4] Mit Raben kennen wir uns alle aus; aber bei Natriumsalzen wissen im Allgemeinen nur die Chemie-Fans Bescheid.

Nach Hempel ist der Eindruck, die Konsequenzen aus seinen Überlegungen seien paradox, verfehlt und durch psychologische und epistemologische Faktoren zu erklären. Jean Nicod hat da eine intuitiv naheliegendere Lösung für das Hempel-Paradox gefunden: Erinnern wir uns an sein Kriterium am Anfang, so waren nach Nicod zur Beurteilung der Farbe von Raben faktisch auch nur die Raben relevant. Alle x, die weder ein Rabe noch schwarz sind, haben für unsere Hypothese keinerlei Bedeutung. Hempels zentrale Schlussfolgerung ist also falsch.

I. J. Good schlug 1967 eine Auflösung des Paradoxons im Artikel "The White Shoe Is a Red Herring" vor. Er übersetzt darin das Paradoxon in ein Entscheidungsproblem, in dem nach der Beobachtung eines schwarzen Raben zwischen verschiedenen möglichen Welten mit unterschiedlichen Anzahlen von Raben und anderen Objekten gewählt werden soll. Er zeigt, dass die Aussagekraft einer Beobachtung von der Menge und Art der überlegten Hypothesen abhängt. Diese Argumentation wurde von Hempel als irrelevant zurückgewiesen.[5][6]

Deduktiv-Nomologisches Modell

[1] Janina Hosiasson-Lindenbaum: On Confirmation, in: The Journal of Symbolic Logic, Vol. 5, No. 4 (Dez. 1940), S. 133–148.

[2] Ich verstehe nicht, warum der Fall, dass a zwar F, nicht aber G ist, die Hypothese nur schwächen und nicht negieren sollte. Für Hempels Einwand ist dies aber irrelevant.

[3] Nelson Goodman war vermutlich der Einzige, der hieran etwas Positives sehen konnte: Ist das Raben-Paradoxon wirklich unausweichlich, dann kann man wenigstens Ornithologie betreiben, ohne dafür das Haus verlassen zu müssen.

[4] Die Sache mit der Logik und den zusätzlichen Informationen, die scheinbar irrelevant sind und trotzdem einen Einfluss auf Wahrscheinlichkeitssaussagen haben, ist mittlerweile im Rahmen der Bayesschen Logik formalisiert. Trotzdem fällt es uns immer noch enorm schwer, den “gesunden Menschenverstand” beiseite zu lassen, wenn es um solche Themen geht.

[5] Vgl. dazu kurz E. T. Jaynes: "Probability Theory: The Logic of Science", Kap. 5, S. 522.

[6] Vorgeschlagen wird ähnlich die Hypothese „Alle Raben sind schwarz“ als Aussage über alle Objekte aufzufassen, die nur nichtschwarze Raben ausschließt, so dass auch rote Füchse die Hypothese bestätigen (Vgl. So Gessmann, Martin (Hg.): Philosophisches Wörterbuch. - 23. Auflage. - Kröner, Stuttgart 2009: Hempel-Paradox). Ausgehend von der Fragestellung, wie aus der Implikation "Wenn Rabe, dann schwarz", die Implikation "Wenn kein Schwarz, dann kein Rabe" werden kann, kann überprüft werden, wie aus der Rede von "widerspricht nicht der Behauptung" schließlich das "Stützen einer Behauptung" wird, worüber letztlich der Philosoph seiner Verwunderung Ausdruck gibt. Ohne das "Tertium non datur", der Zuhilfenahme des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, wären beide Übergänge nicht zu begründen. Lediglich die Rede vom Ausschluss unschwarzer Raben wäre ohne das Tertium non datur herleitbar: "Es kann nicht sein, dass es einen Raben gibt, der nicht schwarz ist."[Intuitionismus] Analog dazu wird die Rede vom gelben Auto, die scheinbar die These von den schwarzen Raben stütze, als Kopie des Ausspruchs "Wer nicht für mich ist, der ist gegen mich" erkennbar.

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