John Stuart Mills Philosophie der Mathematik

John Stuart Mill entwickelte seine Philosophie der Mathematik vor allem in seiner Schrift  "System of Logic" von 1843. Für den Empiristen Mill ist die Quelle der Mathematik die empirische Wirklichkeit.

„Die Punkte, Linien, Kreise und Quadrate, die jemand in seinem Bewußtsein hat, sind (denke ich) bloß Abbilder der Punkte, Linien, Kreise und Quadrate, die er in seiner Erfahrung kennen gelernt hat. Unsere Vorstellung von einem Punkt ist, denke ich, einfach unsere Vorstellung von einem minimum visibile, dem kleinsten Teil einer Fläche, den wir sehen können. Eine Linie, wie sie in der Geometrie definiert wird, ist ganz undenkbar. Wir können über eine Linie sprechen, als wenn sie keine Breite hätte, weil wir eine Fähigkeit besitzen, welche die Grundbedingung der Herrschaft ist, die wir über unsere Geistestätigkeiten ausüben: die Fähigkeit nämlich, wenn eine Anschauung unseren Sinnen oder eine Vorstellung unserem Geist gegenwärtig ist, nur einen Teil dieser Anschauung oder Vorstellung statt des Ganzen zu beachten.“
- John Stuart Mill: System of Logic: II.V, § 1.

Nach Mill beginnt die Geometrie also mit der sinnlichen Erfahrung der uns umgebenden Wirklichkeit. Geometrische Begriffe wie "Linie", "Kreis" oder Quadrat" werden dann in einer Art Abstraktion gewonnen: Einige Eigenschaften der wahrgenommenen Objekte werden unterdrückt, andere zugleich hervorgehoben, verallgemeinert und idealisiert. Mill schreibt weiter weiter:

Auch die Arithmetik beginnt für Mill auch in der Erfahrung. Die Zahlen werden ebenfalls in einer Art Abstraktion aus sukzessiv wiederkehrenden Empfindungen gewonnen. Wenn ich beispielsweise eine Ameise sehe und dann noch eine, dann kann ich daraus die Zahl "2" ableiten. Zahlen sind nach Mill also nichts mehr als Anzahlen. Arithmetische Aussagen wie "1+1=2" folgen dementsprechend auch nicht aus den Definitionen der Zahlen, sondern aus unserer sinnlichen Erfahrung.

Dementsprechend hält Mill mathematische Sätze auch nicht für notwendig oder sicher wahr. Denn sie sind nur Verallgemeinerungen der wirklichen Beziehungen:

„Wenn man [. . . ] behauptet, dass die Lehren der Geometrie notwendige Wahrheiten sind, so besteht die Notwendigkeit in Wirklichkeit nur darin, dass sie aus den Annahmen, aus denen man sie herleitet, notwendig folgen. Jene Annahmen sind aber so weit davon entfernt, notwendig zu sein, dass sie nicht einmal wahr sind; sie weichen mit Absicht mehr oder weniger weit von der Wahrheit ab.“

- ebd.

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