Der mathematische Fiktionalismus ist eine ontologische, genauer: nominalistische Position in der Philosophie der Mathematik, nach der mathematische Entitäten nicht existieren.

Folge: Alle mathematischen Sätze S sind grundsätzlich nicht-wahrheitsfähig.

Beispiel: S "Die Zahl 3 ist eine Primzahl" ist nicht wahrheitsfähig. Denn die Begriffe "3" und "Primzahl" verweisen auf nichts. In Folge kann der propositionale Gehalt von S mit nichts Realem korrespondieren und daher auch nicht wahr sein.

Aristoteles vertrat bereits eine Art "antiken Fiktionalismus".[1][2] Dieser hat mit dem modernen Fiktionalismus aber herzlich wenig zu tun.[3] Genauso wie der moderne Platonismus kaum was mit Platons Sicht der Mathematik gemein hat.

Hartry Field begründete den "modernen Fiktionalism" 1980 quasi im Alleingang.[4] Seitdem wurde diese Position u.a. von Mark Balaguer, Gideon Rosen, Stephen Yablo, Mary Leng und Otávio Bueno weiterentwickelt. 

Frage: Kann "2 + 2" wirklich unwahr sein? Das erscheint absurd!

Antwort: Die Stärke des Fiktionalismus entspringt u.a. aus der Schwäche seiner Gegenpositionen. Das Hauptargument für den Fiktionalismus geht entsprechend:

P1. Ein mathematischer Satz wie S1 "Die Zahl 4 ist gerade" hat die logische Form "Fa" (lies: Die Zahl 4 hat die Eigenschaft gerade zu sein).
P2. Ein mathematischer Satz wie S1 "Die Zahl 4 ist gerade" kann nur dann wahr sind, wenn gilt "∃aFa" (lies: Es gibt die Zahl 4 und die Zahl 4 hat die Eigenschaft gerade zu sein).

C1. Also: Ein mathematischer Satz wie S1 kann nur dann wahr sein, wenn es die Zahl 4 bzw. wenn mathematische Entitäten existieren. 

P3. Wenn mathematische Entitäten wie die Zahl existieren, dann sind es keine konkreten oder mentalen Objekte. Vielmehr muss es sich dabei um abstrakte Objekte handeln.
P4. Es gibt keine abstrakten Objekte.
C2. Also: Es gibt keine mathematischen Entitäten.

C3. Also: Mathematische Sätze sind nicht wahrheitsfähig.

C4. Also: Der Fiktionalismus ist wahr!

Erstens: Dieses Argument ist formal schlüssig. Ein Kritiker des Fiktionalismus muss daher mindestens eine der Prämissen P1 – P4 inhaltlich bestreiten.

Zweitens: Die Prämissen P1 - P4 lehnen jeweils eine Alternative zum F. ab: 

a.    P1 lehnt den paraphrasierenden Nominalismus ab.

b.    P2 lehnt den Nominalismus der deflationären Wahrheit ab.

c.    P3 lehnt den radikalen Empirismus ab (vgl. John Stuart Mill).

d.    P4 lehnt den Platonismus ab.

Also: Die Diskussion der Prämissen P1 - P4 eignet sich hervorragend als Einführung in den Fiktionalismus!

P1. Ein mathematischer Satz wie S1 "Die Zahl 4 ist gerade" hat die logische Form "Fa" (lies: Die Zahl 4 hat die Eigenschaft gerade zu sein).

Der paraphrasierende Nominalismus ist der Ansicht, dass ein mathematischer Satz wie S1: "Die Zahl 4 ist gerade" nicht die logische Form "Fa" hat. Das heißt, dass mit dem Satz keine Behauptung über die Zahl 4 aufgestellt wird.[6][7][8]

Kritik: Wenn ein Mathematiker sagt: "Die Zahl 4 ist gerade", dann möchte er damit doch wohl sagen, dass die Zahl 4 gerade ist. Der paraphrasierende Nominalismus scheint also keine plausible Interpretation der mathematischen Sprache zu sein.

P2. Ein mathematischer Satz wie S1 "Die Zahl 4 ist gerade" kann nur dann wahr sind, wenn gilt "∃aFa" (lies: Es gibt die Zahl 4 und die Zahl 4 hat die Eigenschaft gerade zu sein).

Der Nominalismus der deflationären Wahrheit ist der Ansicht, dass ein mathematischer Satz wie S1: "Die Zahl 4 ist gerade" mit nichts Existentem korrespondieren und trotzdem wahr sein kann. Denn er vertritt keine gewöhnliche Korrespondenztheorie, sondern eine Deflationäre Theorie der Wahrheit.

Kritik: Wenn ein Biologe sagt S2: "Wale sind Säugetiere", dann scheint die Wahrheit des Satzes vorauszusetzen, dass es überhaupt so etwas wie Wale gibt. Die Deflationstheorie scheint also zumindest keine naheliegende Interpretation des Wahrheitsbegriffes zu sein.

P3. Wenn mathematische Entitäten wie die Zahl existieren, dann sind es keine konkreten oder mentalen Objekte. Vielmehr muss es sich dabei um abstrakte Objekte handeln.

Der radikale Empirismus besagt, dass ein mathematischer Satz wie S1: "Die Zahl 4 ist gerade" sich auf konkrete Objekte in Raum und Zeit beziehen. Denn der Begriff der Zahl 4 wurde beispielsweise aus der Erfahrung von vier konkreten Steinen und Abstraktion gewonnen. John Stuart Mill vertrat eine solche Ansicht.

Kritik: Wenn ein Mengentheoretiker sagt S3: "Es existieren unendlich viele transfinite Kardinalzahlen", dann scheint er sich nicht auf konkrete Gegenstände zu beziehen. Denn in der konkreten Welt gibt es keine Unendlichkeiten.

Der radikale Psychologismus besagt hingegen, dass ein mathematischer Satz wie S1: "die Zahl 4 ist gerade" sich auf mentale Objekte im Bewusstsein beziehen. Denn der Begriff der Zahl 4 wurde beispielsweise aus einer mentalen Idee gewonnen. Der frühe Edmund Husserl[8] sowie die Intuitionisten Luitzen E. J. Brouwer[9] und Arend Heyting[10] vertraten eine solche Ansicht.

Kritik: Wenn ein Mengentheoretiker sagt S3: "Es existieren unendlich viele transfinite Kardinalzahlen", dann scheint er sich nicht auf mentale Gegenstände zu beziehen. Denn wir können uns gar keine Idee von Unendlichkeiten machen.

P4. Es gibt keine abstrakten Objekte.

Der mathematische Platonismus ist der Ansicht, dass sich ein Satz wie S1: "Die Zahl 4 ist gerade" auf das abstrakte Objekte "die Zahl 4" bezieht.

Kritik: Wenn ein Mathematiker sagt S1: "Die Zahl 4 ist gerade" und sich damit auf ein abstraktes Objekt bezieht, dann muss er selbige erkennen können. Dies ist nach dem erkenntnistheoretischem Argument aber nicht möglich[11]:

A1. Abstrakte Objekte existieren qua definitonem außerhalb von Raum, Zeit und Kausalität.

A2. Der Mensch existiert vollständig in Raum und Zeit und sein Erkenntnisapparat arbeitet ausschließlich kausal.

K1. Der Mensch kann abstrakte Objekte nicht erkennen.

A3. Der mathematische Platonismus ist der Ansicht, dass der Mensch sich auf abstrakte Objekte beziehen und diese demzufolge erkennen kann.

K2. Der mathematische Platonismus ist falsch.

[1] Jonathan Lear: Aristotle's Philosophy of Mathematics
[2] Phil Corkum: Aristotle on Mathematical Truth
[3] ebd.

[4] Harty Field: Science without Numbers

[5] siehe u.a: Hilary Putnam: Mathematics Without Foundations (1967)
[6] siehe u.a: Terence Horgan: Science Nominalized (1984)

[7] Der frühe David Hilbert entwickelte einen Vorläufer des paraphrasierenden Nomalismus. Siehe z.B. David Hilbert: Grundlagen der Geometrie (1899)

[8] Edmung Husserl: Philosophie der Arithmetik (1891)

[9] Luitzen E. J. Brouwer: Intuitionism and Formalism (1912)

[10] Arend Heyting: Intuitionism (1956)

[11] Hartry Field: Realism, Mathematics, and Modality (1989)

Argument der Unentbehrlichkeit

Nominalismus

Platonismus

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