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"Currys Paradoxon" beschreibt eine Vielzahl an Paradoxien der Selbstreferenz und Zirkularität, die auf Haskell Curry[1] und Martin Hugo Löb[2] zurückgehen.
Sie können u.a. mengentheoretisch und semantisch formuliert werden.[2]
Ein einfaches Curry Paradoxon kann so aussehen:
S: Wenn S gilt, dann gilt auch eine beliebige Aussage A.
Beispiele:
S1: Wenn dieser Satz S1 gilt, dann ist die Zeit unendlich.
S2: Wenn dieser Satz S2 gilt, dann existiert der abrahamitische Gott.
S3: Wenn dieser Satz S3 gilt, dann sind alle Zahlen Primzahlen.
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1. Sprachliche Bedingungen
Die Sätze S1 - S3 behaupten somit die Ableitbarkeit einer beliebigen Aussage A aus sich selbst heraus. D.h. sie setzen ihre eigene Gültigkeit bereits voraus.
Das ist das Selbstreferentielle und schlussendlich Paradoxe an Curry-Paradoxien.
Die Ableitbarkeit von curry-paradoxen Sätzen wie S1 - S3 ist nun in jeder Sprache L möglich, die die folgenden Bedingungen (a) - (d) erfüllen:
(b) Die Sprache L erlaubt die Vereinfachung:
A à ( A à B) = ( A à B).
(c) Die Sprache L erlaubt die Tautologie:
A à A.
(d) Die Sprache L kann einen Selbstbezug eines Satzes S ausdrücken:
S ↔ F (S).
Die klassische Logik, aber auch viele nicht-klassische Logiken (insbesondere intuitionische Logiken und sogar parakonsistente Logiken) erfüllen (1) - (4).
Die Bedingungen werden natürlich auch von der verbalen Sprache erfüllt, in der Selbstbezüge nicht mit Variablen sondern mit Pronomen ausgedrückt werden.
In allen diesen Sprachen L1, ... Ln lassen sich Curry Paradoxien ableiten:
Ableitung des Curry-Paradoxons
Eine Curry Paradoxie besteht, wenn sich aus einem selbstbezüglichen Satz S eine beliebige Aussage A ableiten lässt. Sei S also ein selbstbezüglicher Satz:
(0) S.
Laut (c) können wir problemlos schließen:
(1) (S à S).
S ist bekanntlich selbstbezüglich, sodass gemäß (d) gilt:
(2) S à (S à A).
Somit gilt laut (b) aber auch:
(3) (S à A).
Den Ausdruck (3) können wir gemäß (d) nun auch so ausdrücken:
(4) S.
Und aus (3) und (4) folgt aufgrund (a) schließlich:
(5) A.
Damit haben wir aus dem selbstbezüglichen Satz S und den Bedingungen (a) bis (d) eine beliebige Aussage A abgeleitet!
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