Das Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung (auch: Henker-Paradoxon, Paradoxon der unerwarteten Prüfung) ist ein epistemologisches Problem.

Es gibt in der Fachdiskussion nach wie vor keine Einigung über seine Lösung.

Das Paradoxon hat zwei populäre Darstellungen erfahren:

·        Darstellung als Henkerparadoxon.

·        Darstellung als Prüfungsparadoxon.

Ich stelle es im Folgenden als Henkerparadoxon dar:

Ein Gefängniswärter sagt einem Gefangenen, dass er im Laufe der nächsten Arbeitswoche (Montag bis Freitag) hingerichtet wird. Der Tag der Hinrichtung wird für ihn am Vortag aber noch unvorhersagbar sein. Der Gefangene überlegt:

(1)Wenn ich bis Donnerstagabend nicht hingerichtet wurde, kann ich schon vorhersehen, dass ich am Freitag hingerichtet werde. Der Tag der Hinrichtung wird aber am Vortag noch unvorhersehbar sein. Also weiß ich bereits, dass ich nicht am Freitag hingerichtet werde.

(2)Wenn ich bis Mittwochabends nicht hingerichtet wurde und aufgrund der Überlegung (1) weiß, dass ich nicht am Freitag hingerichtet werde, kann ich schon vorhersehen, dass ich am Donnerstag hingerichtet werde. Also weiß ich auch, dass ich nicht am Donnerstag hingerichtet werde.

(3)…. Also weiß ich auch, dass ich nicht am Mittwoch hingerichtet werde.

(4)…. Also weiß ich auch, dass ich nicht am Dienstag hingerichtet werde.

(5)Wenn ich am Montagmorgen aufgrund der Überlegungen (1) – (5) weiß, dass ich nicht am Dienstag bis Freitag hingerichtet werde, kann ich bereits vorhersehen, dass ich Montag hingerichtet werde. Also weiß ich, dass ich nicht am Montag hingerichtet werde.

(6) Folglich werde ich gar nicht hingerichtet!

Tatsächlich wird der Gefangene am Mittwoch hingerichtet. Das hat er am Dienstagabend aufgrund der Überlegungen tatsächlich nicht vorhergesehen!

Somit hat sich die Ankündigung des Gefängniswärters als wahr herausgestellt!

Das wirft die folgenden Fragen auf:

Ø  Haben wir es hier mit einem Paradoxon oder nur mit einer inkorrekten

   Argument zu tun? Wenn die Argumentation des Gefangenen inkorrekt ist,

   wo liegt der Fehler?

Ø  Wie lässt sich die Argumentation des Gefangenen formalisieren?

Ø  Gibt es verschiedene Lesarten der Ankündigung des Gefängniswärters?

   Wenn ja, ist in einer Lesart die Argumentation des Gefangenen korrekt?

Ø  Besitzt die Ankündigung des Gefängniswärters einen epistemisch 

   interessanten, selbstreferentiellen Aspekt?

Willard Van Orman Quine hat dafür argumentiert, dass die Argumentation des Gefangenen inkorrekt ist.[W] Denn der Gefangene hat nur angenommen, dass die Ankündigung wahr ist und sie war tatsächlich wahr.

Er hätte jedoch zusätzlich wissen müssen, dass die Ankündigung wahr ist.

Das Argument des Gefangenen hat die Struktur einer rückwärtsgerichteten Induktion. Also können wir es auf zwei Tage Montag, Dienstag beschränken.

Dabei steht "M" für die Aussage "die Hinrichtung wird am Montag stattfinden" und "T" steht für die Aussage "die Hinrichtung wird am Dienstag stattfinden.

Der erste Teil der Ankündigung des Gefängniswärters lautet dann:

A1 := (M ∧ ¬T) ∨ (¬ M ∧ T).

"Die Hinrichtung wird entweder am Montag oder am Dienstag stattfinden."

Nun führen wir einen zweistelligen Wissensoperator K ein. Dabei steht K (s, M) für das Wissen des Gefangenen am Sonntag über den Montag. Und K (m, T) für das Wissen des Gefangenen am Montag über den Dienstag.

Der zweite Teil der Ankündigung des Gefängniswärters lautet nun:

A2 := M → ¬K (s, M) ∧ (T → ¬ K ( m, T)).
"Der Tag der Hinrichtung wird am Vortag unvorhersagbar sein."

Die Ankündigung ist dann die Konjunktion beider Teile:

A := A1 ∧ A2.

Die Argumentation des Gefangenen wäre dann wie folgt: Wenn die Hinrichtung am Montag nicht stattfindet, dann weiß ich das am Montagabend: 

1. ¬ M à K (m , ¬M).

Und wenn ich weiß, dass ich am Montag nicht hingerichtet werde und wenn die Ankündigung A wahr ist, weiß ich, dass ich am Dienstag hingerichtet werde:

2. K (m , ¬M ) à K( m , T )

Hier setzt Quines Kritik an. Denn der Gefangene kann den zweiten Schluss nur ziehen, wenn er weiß, dass die Ankündigung wahr ist. Da er dies aber nicht weiß, ist der zweite Schluss und somit die Argumentation des Gefangenen inkorrekt.

Wenn man Quines Lesart der Argumentation des Gefangenen akzeptiert, dann ist seine Diagnose richtig, dass das Argument inkorrekt ist. Es spricht jedoch einiges dafür, sie nicht so zu akzeptieren. Insbesondere, da der Gefangene ja gerade zu zeigen versucht, dass die Ankündigung nicht wahr sein kann.

Robert Shaw hat dafür argumentiert, dass der Gefangene tatsächlich nicht wissen kann, wann er hingerichtet wird.

Die Ankündigung D′ lautet in Shaws Lesart:

D′: ↔ (M ∧¬T ∧ ¬K (s , <D′ → M>)) ∨ (¬ M ∧ T ∧ ¬ K (m , <D′ ∧ ¬M → T>))

"Die Hinrichtung wird am Montag oder am Dienstag stattfinden und wenn die Hinrichtung an einem bestimmten Tage stattfinden wird, dann kann der Gefangene am Vortag nicht zu dem Wissen gelangen, dass diese Ankündigung A´ diesen Tag erzwingt."

Wenn man Shaws Lesart folgt, dann ist die Ankündigung des Gefängniswärters gar nicht erfüllbar. Denn dann ist die Ankündigung selbstreferentiell und kontradiktorisch. Aus Widersprüchlichem lässt sich bekanntlich alles folgern:

1´. D′ → M.

2´. D′ → T.

Deshalb kann der Gefangene auch auf die Überzeugung schließen, dass er nie oder am dem Tag hingerichtet wird, an dem er tatsächlich hingerichtet wird. Diese Überzeugungen sind dann aber völlig willkürlich und kein Wissen.

David Kaplan und Richard Montague haben argumentiert, dass sowohl die Argumentation des Gefängniswärters als auch die des Gefangenen korrekt sind.

Auch in ihrer Lesart ist die Ankündigung des Gefängniswärters selbstreferentiell und sogar paradox:

D′′. ↔ K (s, < ¬ D′′ >) ∨
(M ∧ ¬ T ∧ ¬ K (s, < D′′ →M>) ) ∨
(¬ M ∧ T ∧ ¬ K (m, < D′′ →T>) )

Die Paradoxie ist schon recht kompliziert. Sie lässt sich aber vereinfachen zum:

Wissensparadoxon. S: "Dieser Satz S kann nicht gewusst werden."

Daraus ergibt sich ein direkter Widerspruch:

(S ↔ ¬ S).

[1] Willard Van Orman Quine: On a so-called paradox of preface (1953).

[2] Robert Shaw, The paradox of the unexpected examination (1958).

[3] David Kaplan, Richard Montague: A Paradox Regained (1960).

Stanford Encyclopedia of Philosophy

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