Der Logizismus ist eine Richtung in der Philosophie der Mathematik, die davon ausgeht, dass die gesamte Mathematik auf die Logik zurückgeführt werden kann.

Das heißt: Die Mathematik soll ein Teilgebiet der fundamentaleren Logik sein.

Der Begründer des Logizismus war Gottlob Frege und die Hauptvertreter Bertrand Russell und Alfred N. Whitehead. Crispin Wright begründete den Neo-Logizismus.

Nach Bertrand Russell sind dies die Hauptthesen des Logizismus:

1. Alle Begriffe der M. lassen sich explizit mit logischen Begriffen definieren. 

2. Alle Gesetze der M. sind aus logischen Axiomen und Definitionen ableitbar

3. Alle Theorien der M. beruhen auf logischen Grundprinzipien.

Der Logizismus behauptet im Kern also die Konjunktion aus diesen drei Thesen.

Die Gegenposition zum Logizismus besagt, dass es sich bei der Logik um einen Zweig der Mathematik handelt. Sie wurde implizit von Georg Cantor und George Boole, den Pionieren der mathematischen Logik im 19. Jahrhundert, vertreten.

Die historischen Ursprünge des Logizismus sind vielfältig.

Sie reichen bis in die Antike zu Platon, Aristoteles und Euklid zurück, auf die sich die Logizisten beriefen, wenn es etwa um die axiomatische Methode ging.

Eine größere Rolle spielte auch die erkenntnistheoretische Kontroverse zwischen Rationalismus und Empirismus im 17. und 18. Jahrhundert. Der Logizismus schlug sich hier auf die rationalistische Seite von John Locke und Gottfried Wilhelm Leibniz, nach denen mathematische Aussagen nicht-empirisch, sondern tautologisch und redundant sind. Er berief sich außerdem auf die leibnizsche Idee der Algorithmisierung des mathematischen und wissenschaftlichen Schließens.

Leibniz versuchte auch bereits, logische Operationen mit einem algebraischen Ansatz zu behandeln. Diese Idee wurde in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts wieder aufgegriffen. Charles Sanders Peirce, Ernst Schröder und Weitere haben zur Entstehung der sogenannten Algebra der Logik beigetragen.  Gottlob Frege und Bertrand Russell schufen überdies einen nichtalgebraischen Zugang zur Logik. Insgesamt entwickelten diese Köpfe eine mathematische Logik, ohne die das logizistische Programm nicht denkbar gewesen wäre.

Einen großen Einfluss auf den Logizismus hatte auch die damalige Tendenz zur Arithmetisierung der Mathematik. Hierunter ist der Versuch zu verstehen, die gesamte Mathematik auf die Arithmetik der natürlichen Zahlen zurückführen zu wollen um sie so als einheitliches Ganzes zu verstehen. Diese Bestrebung war eng mit den beiden Mathematikern Karl Weierstraß und Richard Dedekind verbunden.

In diesem historischen Umfeld entstand das Bedürfnis, die Arithmetik der natürlichen Zahlen selbst auf eine elementarere Basis zurückzuführen. Gottlob Frege unternahm in den "Grundlagen der Arithmetik" und in seinen beiden Büchern "Grundgesetze der Arithmetik" einen ersten Versuch in diese Richtung.

Frege vertrat die These, dass alle arithmetischen Begriffe mit rein logischen Begriffen explizit definiert werden könnten. Wenn sich Freges These wahr ist und wir die von Weierstraße und Dedekind hinzuziehen, dann folgt daraus, dass die Mathematik aus der Arithmetik und die Arithmetik aus der Logik ableitbar ist.

In Folge wäre das logizistische Programm perfekt begründet! Frege entwickelte eine mathematikphilosophische Position gegenüber Sätzen der Arithmetik.

1. Antiempirismus: S.d.A. sind keine induktiven Verallgemeinerungen.
2. Antikantianismus: S.d.A. sind keine synthetischen Urteile a priori.
3. Antiformalismus: S.d.A. sind keine Zusammenstellungen oder Regeln der Manipulation von Zeichen.

Freges Antiempirismus enthielt einen entschiedenen Antipsychologismus: Für Frege war alles Psychische mit Notwendigkeit subjektiv und Sätze der Arithmetik bzw. Logik dahingegen analytische Urteile und damit per se a priori. Ein Grundsatz seiner Untersuchungen war daher, "das Psychologische von dem Logischen, das Subjektive von dem Objektiven scharf zu trennen."[1]

Frege entwickelte einen eigenen Zahlenbegriff, nach dem Zahlen Anzahlen, also Klassen gleichmächtiger Mengen sind. Mengen wiederum sind Umfänge von Begriffen und Begriffe als Elemente des reinen Denkens Gegenstände der Logik. 

Daraus folgt:

Zahlen sind Elemente der Logik. 

Als solche existieren Zahlen für Frege unabhängig von Raum Zeit oder menschlichem Intellekt. In Bezug auf den ontologischen Status von Zahlen war er also Platoniker. Er entwarf auch ein vielbeachtetes Argument für diese Position.

Die Werke von Frege blieben lange fast unbemerkt oder unterschätzt. Eine der Ursachen war die originelle, aber ebenso komplizierte Symbolik, die Frege einführte. Diese war anders als die gewöhnliche mathematische Symbolik, was zeigen sollte, dass Mathematik in logische Sprache transformiert werden kann.

Giuseppe Peano war einer der wenigen Wissenschaftler, welche die Werke Freges kannten und sie einschätzen konnten. Er entwickelte selbst eine logische und mathematische Symbolik, die von Russell später noch modifiziert wurde. Die heute Symbolik beruht wesentlich auf den Arbeiten von Peano und Russell.

Bertrand Russell lernte die Werke Freges über Peano kennen. Als er den ersten Band der Fregeschen Grundgesetze studierte, merkte Russell, dass das System der Logik, auf das Frege die Arithmetik der natürlichen Zahlen zurückführte, in sich widersprüchlich ist. Denn in diesem System ist die Antinomie der sogenannten "nichtreflexiven Klassen" konstruierbar, die man heute als Russellsche Antinomie kennt. Russell schrieb 1902 in einem Brief an Frege:

 „In Bezug auf viele konkrete Fragen habe ich in Ihrem Werk Diskussionen, Unterscheidungen und Definitionen gefunden, die man vergeblich in Arbeiten anderer Logiker sucht. [. . . ] Es gibt jedoch eine Stelle, in der ich auf Schwierigkeiten gestoßen bin. Sie behaupten (S. 17), dass auch eine Funktion sich als unbestimmtes Element verhalten kann. Früher habe ich das geglaubt, jetzt aber scheint mir solche Ansicht fragwürdig wegen des folgenden Widerspruches. Sei w die folgende Eigenschaft: Eine Eigenschaft zu sein, die man über sie selbst aussagen kann. Kann man jetzt die Eigenschaft w über sie selbst aussagen? Aus jeder möglichen Antwort folgt ihr Gegenteil. Wir müssen also in der Folge sagen, dass w keine Eigenschaft ist. Auf ähnliche Weise existiert keine Klasse (als ein Ganzes), die aus solchen Klassen besteht, die nicht zu sich selbst gehören. Ich ziehe daraus den Schluss, dass unter bestimmten Bedingungen definierbare Zusammenfassungen keine fertigen Gesamtheiten bilden.“

Frege sah durch die Antinomie sein Lebenswerk gescheitert und schrieb Russell:

„Ihre Entdeckung des Widerspruches hat mich auf’s Höchste überrascht und, fast möchte ich sagen, bestürzt, weil dadurch der Grund, auf dem ich die Arithmetik sich aufbauen dachte, in’s Wanken gerät. [. . . ] Ich muss noch weiter über die Sache nachdenken. Sie ist um so ernster, als mit dem Wegfall meines Gesetzes V nicht nur die Grundlage meiner Arithmetik, sondern die einzig mögliche Grundlage der Arithmetik überhaupt zu versinken scheint. [. . . ] Jedenfalls ist Ihre Entdeckung sehr merkwürdig und wird vielleicht einen großen Fortschritt in der Logik zur Folge haben, so unerwünscht sie auf den ersten Blick auch scheint. [. . . ] Der zweite Band meiner Grundgesetze soll demnächst erscheinen. Ich werde ihm wohl einen Anhang geben müssen, in dem Ihre Entdeckung gewürdigt wird. Wenn ich nur erst den richtigen Gesichtspunkt dafür hätte!“

Russell kritisierte Freges Logizismus vernichtend und entwarf zugleich ein eigenes logizistisches Programm. In "The Principles of Mathematics" entwarf er zunächst seine mathematikphilosophischen Positionen. Und in dem monumentalen Werk "Principia Mathematica" versuchte er sich an einer eigenen Reduktion der Mathematik auf die Logik. Russell schrieb das Buch zusammen mit Alfred North Whitehead und verwendete darin die von ihm zuvor entwickelte Typentheorie.

Die Hauptannahme dieser Theorie ist, dass alle Eigenschaften, die man untersuchen kann, eine unendliche Hierarchie von Typen bilden: Die Eigenschaften des ersten Typs sind Eigenschaften von Individuen, Eigenschaften des zweiten Typs sind Eigenschaften der Eigenschaften des erstens Typs usw. usf.
dieser Es gibt in dieser Hierarchie keine Eigenschaften, die gleichzeitig Individuen und Eigenschaften von Individuen sein können. Mit diesem Kniff ist es Russell und Whitehead gelungen, die Antinomie nichtreflexiver Klassen zu umgehen.

Die Typentheorie wurde in den Dreißigern von den meisten Logikern übernommen. Sie wurde als dasjenige System akzeptiert, das am besten als Grundlage der Mathematik geeignet ist. Und sie wurde zur Basis, auf die man sich in logischen Untersuchungen bezog. So bildet die Typentheorie zum Beispiel den Hintergrund für Rudolf Carnaps extensionale Typentheorie, für Alfred Tarskis berühmte Wahrheitsdefinition und Kurt Gödels Unvollständigkeitssätze. Diese Sätze zeigten aber auch, dass es in einem hinreichend starken, widerspruchs-freien System wie in dem von Russell immer unbeweisbare Aussagen gibt.

Heutzutage gilt der Logizismus gemeinhin als gescheitert. Denn die Reduktion der Mathematik hat sich als eine Reduktion auf die Mengenlehre, nicht auf die schiere Logik entpuppt.

Stanford Encyclopedia of Philosophy

Stand: 2019

Aufsätze