Hilberts Hotel

Hilberts Hotel (engl.: Hotel Infinity) ist ein bekanntes Gedankenexperiment zur Illustration des (abzählbaren) Unendlichkeitsbegriffes und vieler seiner Implikationen in der Mathematik. Der deutsche Mathematiker David Hilbert ersann es 1926.

Stellen Sie sich vor, Sie wären Rezeptionist in einem Hotel mit endlich vielen Zimmern. Wenn alle Zimmer im Hotel belegt sind, können Sie keine weiteren Gäste mehr aufnehmen. Jetzt aber würde Sie ihr Arbeitgeber in ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern verlegen. Eines Tages in der Hochsaison seien bereits alle unendlich Zimmer ausgebucht, als noch ein weiterer Gast nach einem Zimmer fragt. Intuitiv würde man vermuten, dass Sie diesem Gast kein weiteres Zimmer anbieten können, da bereits alle besetzt wären. Diese Logik entspricht der endlicher Mengen (bzw. beschränkter Zimmerkapazitäten). Da Sie aber unendlich viele Zimmer zur Verfügung haben, kommt Ihnen ein Geistesblitz. Sie bitten einfach jeden ihrer Gäste in das Zimmer mit der nächst höheren Nummer zu gehen. Der Gast von Zimmer 1 geht also in Zimmer 2, der von Zimmer 2 in Zimmer 3, der von Zimmer 3 in Zimmer 4 usw. Wenn ein Gast in Zimmer N war, ist er nun im Zimmer N+1 und somit ist Zimmer 1 nun für den neuen Gast frei.

Für das Rechnen mit Unendlich gilt somit:

∞=∞+ 1

Gehen wir jetzt davon aus, dass Sie erneut unendlich viele Zimmer mit unendlich vielen Gästen bewirten. Aufgrund einer unglaublichen Attraktion in Hotelnähe kommen nun unendlich viele Gäste und wollen ein Zimmer bei Ihnen beziehen. Könnten Sie auch diese unterbringen? Ja. Jeder der Hoteleinwohner soll seine Zimmernummer verdoppeln und in das Zimmer mit der resultierenden Nummer wechseln. So geht der Gast von Zimmer 1 auf Zimmer 2, der Gast von Zimmer 2 auf Zimmer 4, der Gast von Zimmer 3 auf Zimmer 6 usw. Wenn ein Gast in Zimmer N war, ist er nun im Zimmer 2N und somit sind unendlich viele Zimmer mit ungerader Nummer für die unendlich vielen, neuen Gäste freigeworden.

Für das Rechnen mit Unendlich gilt somit:

∞=∞* 2

Zuletzt setzten wir noch Einen drauf. Unendlich viele Busse mit je unendlich vielen Gästen wollen in Ihr Hotel mit unendlich vielen belegten Zimmern einchecken. Da Sie ein gewitzter Geschäftsmann sind, finden Sie auch hier einen Handgriff, den ausstehenden Gewinn in unendlicher Höhe einzukassieren. Sie könnten dazu unter anderem zuerst einmal wie zuvor beschrieben alle Zimmer mit ungeraden Nummern vom Portier räumen lassen. Danach schicken Sie alle Gäste aus Bus 1 in die Zimmer 3,9,27.. (sprich all jene Zimmer, die mit Potenzen von 3 nummeriert sind) Dann die Gäste aus Bus 2 in die Zimmer 5,25,125… (sprich 5¹, 5², 5³ usw.). Selbst hier wären noch unendlich viele Zimmer frei (z.B.: die 15, die keine Potenz einer Primzahl ist).

Egal wie viel man von Unendlich in Anspruch nimmt, es scheint kein Ende zu geben. Unendlich eben. Falls du schlussendlich also durch die Hotelgänge schlenderst, vermagst du nicht festzustellen ob keine, unendlich, oder unendlich mal unendlich neue Besucher in ihrem Hotel sind.

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