Der Zahlenbereich der reellen Zahlen umfasst die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen. Rationale Zahlen lassen sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen, also z.B. 1/2, 8/7, 2/2903. Irrationale Zahlen kann man nicht als Bruch aufschreiben. Die Wurzel von 2 oder die Zahl Pi erfüllen dieses Kriterium und sind somit irrational. Folglich sind alle Zahlen auf der Zahlengeraden reelle Zahlen:

Der Mathematiker Georg Cantor bewies, dass es mehr reelle Zahlen gibt, als natürliche. „Und das soll mich jetzt vom Hocker hauen?“, fragen Sie sich vielleicht. „Ist ja klar, dass es mehr reelle als natürliche Zahlen gibt, wenn die reellen Zahlen schon alle rationalen Zahlen, die zwischen zwei natürlichen verloren gehen, beinhaltet.“ So klar ist das nicht. Und jetzt halten Sie sich (am Hocker) fest: Die natürlichen Zahlen sind schon unendlich viele. Fangen Sie doch einmal an alle natürlichen Zahlen von 1 beginnend aufzuzählen: 1, 2, 3, 4, 5, 6… Sie kommen nie an ein Ende.

„Aber wie kann das sein? Wie können unendlich viele natürliche Zahlen weniger als unendlich viele reelle Zahlen sein?“ Nun, es gibt verschieden große Unendlichkeiten. Abzählbare, und nicht-Abzählbare.

Die Menge der natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich, zu Deutsch: Man kann sie theoretisch abzählen. Die reellen Zahlen sind aber nicht abzählbar. Im Fachchinesisch: Die Menge der reellen Zahlen enthält überabzählbar unendlich viele Elemente. U.a. dies bewies Cantor mit seinem Diagonalverfahren.

Das cantorsche Diagonalverfahren ist sehr kompliziert. Ohne Vereinfachungen und Herauspicken von dem für uns Interessanten kommen wir nicht weit. Und trotzdem kann es passieren, dass Sie einige Sätze mehrmals lesen müssen. Nur nicht den Mut verlieren!

Fragen wir uns zuallererst, ob die Menge aller Teilmengen einer abzählbaren Menge selbst auch abzählbar ist. Dafür konstruieren wir einmal die Teilmengen einer abzählbar unendlichen Menge. Jede Teilmenge werde dabei durch eine Folge an Karten visualisiert, die sich nach rechts und unten unendlich fortsetzt:

Jetzt nehmen wir einfach mal an, die Menge dieser Teilmengen wäre tatsächlich abzählbar. Was hätte das zur Folge? Dann könnten wir, wie gesagt, alle Teilmengen durchnummerieren, abzählen halt. Im Beispiel oben haben wir das von oben nach unten und von links nach rechts getan. Falls jetzt die Menge dieser Teilmengen abzählbar sein sollte, müsste eine solche Nummerierung prinzipiell alle Teilmengen erfassen können. Kann sie das? Nein.

Um das aufzuzeigen, zeichnen wir als nächsten Schritt eine Diagonale durch unser Kartenfeld. Legen wir jetzt die Karten aus der Diagonale horizontal und drehen sie alle um. Nun entspricht unsere neue Kartenfolge einer Teilmenge, die nicht in der nummerierten Fassung zu finden ist.

Alles andere ist recht einfach: Die neue Kartenfolge findet sich nicht in der ersten Teilmenge, weil die ersten Karten verschieden sind. Auch die zweiten können es nicht sein, weil die jeweils zweiten Karten wegen des Umdrehens verschieden sind. Und so weiter. Allgemeiner ausgedrückt: Jede n-te Teilmenge ist mindestens in der n-ten, umgedrehten, Karte, nicht identisch zu der konstruierten Teilmenge. Analog wie bei den ersten beiden geschehen, kann also zu jeder Nummerierung eine Teilmenge angegeben werden, die sie selbst nicht erfasst.

Was gerade geschehen ist, nennt sich Widerspruchsbeweis: Wir sind davon ausgegangen, dass alle Teilmengen durchnummerierbar sind und haben dadurch herausgefunden und bewiesen, dass das nicht geht, indem wir eine Teilmenge gefunden haben, die nicht in der Nummerierung steht. Also ist die Menge aller Teilmengen einer abzählbaren Menge selbst nicht abzählbar. Oder, wie wir gelernt haben: überabzählbar.

Was hat das alles mit den reellen Zahlen zu tun? Schauen wir uns die reellen Zahlen in diesem Einheitsintervall hier an. Und nehmen wieder etwas Ähnliches an: Es gibt eine Abzählung / Nummerierung für die Punkte des Einheitsintervalls. Falls das der Wirklichkeit entsprechen sollte, sollten wir keinen Punkt finden, der nicht auf der Liste ist.

Natürlich finden wir eine solche Zahl jedoch wieder. Wir zeichnen wieder eine Diagonale, greifen die Ziffern, die auf ihr liegen, heraus und verwandeln jede Null in eine Eins und alle Einsen in Nullen. Die reellen Punkte des Einheitsintervalls sind somit nicht-abzählbar. Und da die durch den reellen Zahlenbereich eingeschlossene Menge mächtiger als jede abzählbare Menge ist, ist sie auch größer als die abzählbare Menge der natürlichen Zahlen.

Bildquelle: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Real_number_line.svg (überarbeitet)

Stand: 2015

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