Es gibt zwei Arten von Schlüssen (Argumenten):

1. Deduktive Schlüsse
2. Nicht-deduktive Schlüsse

Genauer gibt es es zwei Arten von Gültigkeit:

1'. Deduktiv gültige Argumente

2'. Nicht-deduktive gültige Argumente

Dabei gilt:

Ein Argument A ist deduktiv gültig, gdw. gilt: wenn die Prämissen von A wahr sind, folgt daraus logisch bzw. notwendig die Wahrheit der Konklusion.

Ein Argument B ist nicht-deduktiv gültig, gdw. gilt: wenn die Prämissen von B wahr sind, folgt daraus zwar nicht logisch bzw. notwendig auch die Wahrheit der Konklusion, trotzdem ist es rational die Konklusion für wahr zu halten, wenn die Prämissen wahr sind.

Der Begriff "Induktion" (lat. inducere ‚herbeiführen‘, ‚veranlassen‘, ‚einführen‘) in einem weiteren Sinne bezeichnet alle nicht-deduktiv gültigen Schlussformen.

Diese Schlussformen sind u.a. in diesem Sinne induktive Schlussformen:

a. Der enumerative und voraussagende Schluss
b. Der statistische und probabilistische Schluss

c. Der kausale Schluss
d. Der Analogieschluss

e. Der Schluss auf die beste Erklärung

Ein induktiver Schluss zeichnet sich durch die folgenden Merkmale aus:

i. nicht-demonstrativ.

ii. gehaltserweiternd.

iii. graduell.

iv. nicht-monoton.

Die enumerative Induktion (auch: induktive Verallgemeinerung) ist eine induktive Schlussform, bei der von einer untersuchten Teilmenge aus einer Gesamtheit auf alle die Gesamtmenge der Elemente geschlossen wird.

IS1: F(a₁) , …, F(a_n) Þ Für alle x: F(x)

P1. x % der untersuchten Fälle von A sind B.
C1. Also: x % aller A sind B.

Eine enumerative Induktion kann nur unter zwei Bedingungen rational sein:

1. Wenn es eine "natürliche Verbindung" zwischen einem A-sein und einem B-sein gibt.

2. Wenn die induktive Basis groß und repräsentativ ist.

Sehen wir uns zwei Beispiele an:

Das Argument in Beispiel 1 ist rational, wenn Smaragde natürliche Arten sind und es zu den essentiellen Eigenschaften von Smaragden gehört grün zu sein. Denn dann reicht schon die Untersuchung der Mikrostruktur eines Smaragdes aus, um rational schlussfolgern zu können, dass alle Smaragde grün sind.

Das Argument in Beispiel 2 ist sicher nicht in diesem Sinne rational, denn Kunden sind keine natürlichen Arten. Die Überzeugungskraft dieses Argumentes hängt vor allem von zwei bestimmte Voraussetzungen ab:

• Die Anzahl der befragten Kunden
• Die Repräsentativität der befragten Kunden für die Gesamtheit aller Kunden.

Ganz allgemein gilt: die Anzahl n an untersuchten As bilden die induktive Basis oder auch Stichprobe in einer enumerativen Induktion. Die zwei typischen Fehler bei enumerativen Schlüssen betreffen diese induktive Basis:

a. Unzureichende Statistik: die Stichprobe ist zu klein. Um diesen Fehler zu vermeiden, sollte man eine möglichst hohe Anzahl n an As untersuchen.

b. Voreingenommene Statistik: die Stichprobe ist nicht repräsentativ. Um diesen Fehler zu vermeiden, sollte man möglichst zufällig oder verschiedenartige As untersuchen. Somit hat jedes Individuum in der Gesamtklasse aller As die gleiche Chance, in die Stichprobe zu langen.

Wenn die enumerative Induktion eine rationale Schlussform sein soll, muss das oben stehende Inferenzschema also noch um eine Prämisse ergänzt werden:

P1. x % der untersuchten Fälle von A sind B.

P2. Mindestens eine dieser beiden hinreichenden Bedingungen ist erfüllt: Die As sind eine natürliche Art und B-sein ist eine essentielle Eigenschaft der Art. Oder es wurde eine große und repräsenative Stichprobe an As untersucht.
C1. Also: x % aller A sind B.

Ein induktiver Schluss ist immer nicht-demonstrativ. Das heißt:

i. nicht-demonstrativ: wenn die Prämissen von B wahr sind, folgt daraus nicht logisch bzw. notwendig auch die Wahrheit der Konklusion.

Beispiel:

P1. Alle bisher beobachteten Schwäne waren weiß.

C1. Alle Schwäne sind weiß.

Selbst wenn die Prämisse P1 wahr ist und die Stichprobe an beobachteten Schwäne sehr groß und repräsentativ ist, erzwingt das nicht, dass alle Schwäne weiß sind. Es ist logisch möglich, dass bereits der nächste Schwan schwarz ist.

Induktives Argumentieren beinhaltet deshalb immer ein epistemisches Risiko.

Ein induktiver Schluss ist immer gehaltserweiternd. Das heißt:

ii. gehaltserweiternd: Der propositionale Gehalt der Konklusion geht über den propositionalen Gehalt der Prämissen hinaus.

Beispiel:

P1. Alle bisher untersuchten massereichen Körper haben sich angezogen.

C1. Alle massereichen Körper ziehen sich an (einfaches Gravitationsgesetz).

Der prositionale Gehalt der Konklusion C1 geht über den propositionalen Gehalt der Prämisse hinaus. Denn die Konklusion sagt nicht nur etwas über die untersuchten, sondern auch etwas über schlechtin alle massereichen Körper aus.

Induktive Schlüsse helfen uns deshalb dabei Neues über die Welt zu lernen.

Ein induktiver Schluss ist immer graduell. Das heißt:

iii. graduell: Die induktive Stützung der Schlussfolgerung durch die Prämissen besitzt eine bestimmte Stärke, die von Argument zu Argument unterschiedlich sein kann. 

Dieses Merkmal wird bei statistischen Syllogismen besonders deutlich:

Die induktive Stützung der Konklusion des Argumentes in Beispiel 1 ist stärker als die induktive Stützung der Konklusion des Argumentes in Beispiel 2.

Induktive Argumente können also unterschiedlich stark sein.

Ein induktiver Schluss ist immer nicht-monoton. Das heißt:

iv. nicht-monoton: Die Güte des Schlusses kann sich durch das Hinzufügen zusätzlicher oder das Wegnehmen vorhandener Prämissen ändern.

Das Argument in Beispiel 2 ist offenbar weniger gut als das in Beispiel 1. Der Grund dafür ist, dass beim Argument in Beispiel 2 eine zusätzliche Prämisse P3. hinzugefügt wurde, nach der Hans Pfarrer ist. Da wir wissen, dass die meisten Pfarrer unverheiratet sind, schmälert die Prämisse P3 die Güte des Argumentes.

Wenn wir annehmen, dass Hans Pfarrer ist, bricht auch die induktive Stützung der Schlussfolgerung Beispiel 1 ein. In der Wissenschaftstheorie ist deshalb für induktives Argumentieren die Forderung aufgestellt worden, immer alle relevanten Informationen über den Gegenstand des Arguments heranzuziehen und offenzulegen. Dies nennt man das "requirement of total evidence" (deutsch etwa: die Forderung nach der Vollständigkeit der Belege).

Das Induktionsproblem stellt sich auch dann, wenn die Forderung nach der Vollständigkeit der Belege erfüllt ist und wenn die induktive Basis groß und repräsentativ ist. Insofern ist es ein prinzipielles Problem induktiver Schlüsse.

Die traditionelle Analyse des Induktionsproblems geht auf David Hume zurück.

Sehen wir uns hierzu einen paradigmatischen Induktionsschluss an:

David Humes zentrale Frage lautet: Worauf beruhen solche Induktionsschlüsse auf Grundlage von Erfahrung? Das heißt durch was lassen sie sich rechtfertigen?

“What is the foundation of all conclusions from experience?”
- David Hume: An Enquiry Concerning Human Understanding (1772), 4.2, S. 113

Laut Hume beruhen induktive Schlüsse auf unserer Annahme des Prinzips der Gleichförmigkeit der Natur. Dieses Prinzip umreißt er so:

“[The] principle, that instances, of which we have had no experience, must resemble those, of which we have had experience, and that the course of nature continues always uniformly the same.”

- David Hume: A Treatise of Human Nature (1739), 1.3.6, S. 62

Kurz: Wir sind gerechtfertigt, induktiv aus bislang Beobachtetem auf Unbeobachtetes zu schließen, weil wir unterstellen dürfen, dass Unbeobachtetes dem bislang Beobachteten (zumindest weitgehend) ähnlich ist (bzw. sein wird).

Der obenstehende induktive Schluss ist also nur dann gerechtfertigt, wenn wir PUA als zusätzliche Annahme (Prämisse P2) hinzufügen:

Die entscheidende Nachfolgefrage lautet offenbar: Lässt sich das Prinzip der Gleichförmgkeit der Natur rechtfertigen? Hume verneint diese Frage. 

Zu dieser Einschätzung gelangt er, da sich das Prinzip weder:

1. unmittelbar begründen noch

2. durch ein Argument rechtfertigen lässt.

1. Das PUA ist nicht direkt durch (a) Wahrnehmung oder (b) geistige Erkenntnis (intuition) unmittelbar begründbar.

1a. Auf der einen Seite können wir nicht durch Wahrnehmung feststellen, dass Unbeobachtetes dem Beobachteten wesentlich ähnlich ist (bzw. sein wird). Dafür müssten wir ja das wahrnehmen, was nicht wahrgenommen bzw. zukünftig ist!

1b. Auf der anderen Seite lässt sich das Prinzip auch nicht durch den  Verstand  begründen. Denn ist keine  unmittelbar einsichtige a priori Wahrheit wie z.B. "Alle Gegenstände im Universum sind mit sich selbst identisch" oder "2+2=4".

2. Das Prinzip ist nicht durch ein Argument begründbar.

Es gibt nur zwei Arten von guten Argumenten – (a) demonstrative Beweise (d.h. deduktive Schlüsse) und (b) induktive Begründungen aus Erfahrung.

„All reasonings may be divided into two kinds, namely, demonstrative reasoning, or that concerning relations of ideas, and moral [or probable] reasoning, or that concerning matter of fact and existence.”
- David Hume: An Enquiry Concerning Human Understanding (1772), 4.II, S. 115

2a. Das PUA lässt sich nicht demonstrativ durch Deduktion begründen. Weil jede deduktive Folgerung notwendig wahr und ihre Negation dementsprechend ein Widerspruch ergeben muss. Aber das PUA ist keineswegs eine  notwendige Wahrheit – wir können uns ohne Widerspruch sein Gegenteil vorstellen. Wir können uns beispielsweise vorstellen, dass alle bisher beobachteten Schwäne weiß und alle anderen Schwäne rosarotkariert sind.

“That there are no demonstrative arguments in the case seems evident; since it implies no contradiction that the course of nature may change (...).“

ebd., 4.II S. 115

2b. Das PUA lässt sich aber auch nicht empirisch durch Induktion rechtfertigen. Denn jede induktive Rechtfertigung des Prinzips, das seinerseits wiederum die Induktion rechtfertigen soll, wäre zirkulär.

„But (...) all our experimental conclusions proceed upon the supposition that the future will be conformable to the past. To endeavour, therefore, the proof of this last supposition by probable arguments (...) must be evidently going in a circle (...).

ebd.

Hume Fazit lautet demnach: Das Prinzip der Gleichförmigkeit der Natur ist nicht vernünftig begründbar! Wenn man seine Argumentation für schlüssig hält, besteht noch die Frage, ob diese fernab von der philosophischen Fach-debatte auch eine praktische (alltägliche oder wissenschaftliche) Relevanz hat.

Einerseits scheint es durchaus relevant zu sein, dass wir nicht mit Gewissheit wissen können, dass sich die Dinge morgen nicht komplett anders verhalten werden wie bisher. Andererseits können wir aus dieser Unsicherheit kaum praktische Konsequenzen ziehen: In wissenschaftlichen und auch alltäglichen Kontexten müssen wir PUA (eben nicht aus rationalen, wohl aber) aus pragmatischen Gründen voraussetzen. Denn sonst würden unsere alltäglichen und wissenschaftlichen epistemischen Praxen nicht mehr funktionieren können.

Es existieren eine Reihe von Lösungsstrategien für das Induktionsproblem.

Induktive Schlüsse lassen sich doch überzeugend rechtfertigen:

· Der praktische Erfolg der empirischen Wissenschaften zeigt, dass Induktion ein verlässliches Verfahren ist.
· Der evolutionäre Erfolg zeigt, dass Induktion ein verlässliches Verfahren ist.
· Wir können a priori beweisen oder zumindest wahrscheinlich machen, dass Induktion ein verlässliches Verfahren ist.

Einwand: Wenn die empirischen Wissenschaften induktiv vorgehen und Induktion kein verlässliches Verfahren ist, dann sind die empirischen Wissenschaften kein verlässliches Unternehmen. Ein Problem zu ignorieren lässt es nicht verschwinden!

Peter Strawson argumentiert, dass induktive Schlüsse nicht gerechtfertigt werden müssen, da selbige unsere paradigmatischen Instanzen vernünftiger Schlüsse sind. Denn Induktionsschlüsse bestimmen – zusammen mit den deduktiven Schlüssen – allererst die Standards von Rationalität, so dass man wohl andere Schlussweisen unter Bezugnahme auf sie rechtfertigen und rational begründen kann, nicht aber sie selbst als erste irreduzible Prinzipien rationalen Schlussfolgerns. Es gehört sozusagen zu unserem Begriff von Rechtfertigung, dass induktiv gewonnene Überzeugungen gerechtfertigt sind. (Vgl. Peter Strawsons: Introduction to Logical Theory. 1952.)

Einwand 1: So kann jede bescheuerte Schlussform von einer Gesellschaft akzeptiert werden, wenn sie bereits ihre Standards von Rationalität zählen.

Einwand 2:

„Dagegen ist einzuwenden, dass logische Schlussprinzipien ebenso wie induktive begründet werden können und begründet werden müssen, einfach deswegen, weil nicht jeder Schluss, der als ‘logisch’ oder ‘induktiv’ deklariert wird, auch logisch, bzw. induktiv gültig ist. Man muss also Kriterien haben für die Unterscheidung gültiger und nicht gültiger Schlussweisen. Mit diesen Kriterien kann man dann aber die gültigen Schlussweisen rechtfertigen.“ (pp. 192f.)

Einwand 3: Induktion ist nicht Teil unseres Konzeptes von Rationalität. Wir können uns eine rationale Gesellschaft vorstellen, die ohne Induktion auskommt.

Lösungsstrategie 1: Unsere alltägliche Praxis zeigt, dass Induktion ein verlässliches Verfahren ist. Mehr als Alltagsmaßstäbe brauchen wir nicht.

Dagegen Hume:

“In vain do you pretend to have learned the nature of bodies from your past experience. (...) [A]ll their effects and influence, may change, without any change in their sensible qualities. (...) What logic, what process of argument secures you against this supposition? My practice, you say, refutes my doubts. But you mistake the purport of my question. As an agent, I am quite satisfied in the point; but as a philosopher (...) I want to learn the foundation of this inference.”

- David Hume: An Enquiry Concerning Human Understanding (1772),  4.II S. 117

Lösungsstrategie 2: Entweder wir ziehen auf Grundlage von Beobachtung induktive Schlüsse oder wir raten. Dann gibt es vier Möglichkeiten:

Es ist also aus pragmatischen Gründen vernünftig Induktionsschlüsse zu ziehen. Und zwar egal, ob diese verlässlich sind oder nicht.

Um zu zeigen, dass Induktion ein verlässliches Verfahren ist, muss man nur ein einziges Mal einen induktiven Schluss ziehen. Dies ist kein fataler Prämissen-zirkel, sondern ein legitimer Regelzirkel. Dagegen: Auf diese Weise lassen sich genauso gut viele zumeist als irrational geltene Begründungsweisen rechtfertigen.

Humes Argument zeigt gar nicht das, worauf es ankommt.

Humes Argument zeigt: Das Prinzip der Gleichförmigkeit der Natur lässt sich nicht zirkelfrei begründen.

Humes Argument zeigt nicht: Induktive Schlüsse sind de facto nicht verlässlich.

Zeigt Humes Argument, dass es irrational ist, sich auf induktive Schlüsse zu verlassen? Das hängt davon ab, ob für die Rationalität einer Schlussform de facto Verlässlichkeit hinreichend ist oder ob man epistemisch zeigen können muss, dass die Schlussform verlässlich ist (Vgl. Internalismus und Externalismus).

Neben dem "klassischen" Induktionsproblem gibt es noch weitere Probleme mit induktiven Schlüssen. Insbesondere:

• Hempels Paradoxon
  
• Goodmans-Paradoxon

Nicods Kriterium besagt, dass eine Hypothese der Form:

Für alle x: Wenn x ein F ist, dann ist x auch ein G.

durch ein Objekt a bestätigt ist, wenn gilt, dass a zugleich ein F und ein G ist.

Werfen wir einen Blick auf die folgenden beiden Hypothesen:

H1: Für alle x gilt: Wenn x ein Rabe ist, dann ist x auch schwarz.

H2: Für alle x gilt: Wenn x nicht schwarz ist, dann ist x auch kein Rabe.

Die beiden Hypothesen H1 und H2 sind logisch äquivalent. Das heißt insbesondere auch, dass H1 und H2 dieselben Wahrheitswerte haben und durch dieselben Daten bestätigt werden (das ist die sog. Äquivalenzbedingung).

Hempels (Raben-)Paradoxon resultiert nun aus der offensichtlichen Spannung, die zwischen Nicods Kriterium und der Äquivalenzbedingung besteht:

P1. S2 wird durch gelbe Turnschuhe, rote Autos und himmelblaue Panzer bestätigt (Nicods Kriterium)

P2. Alles, was eine von zwei äquivalenten Aussagen bestätigt, bestätigt auch die andere Aussage. (Äquivalenzbedingung)

P3. S2 und S1 sind logisch äquivalent. 

C1. Ergo: S1 wird auch durch gelbe Turnschuhe, rote Feuerwehrautos und himmelblaue Panzer (ganz generell: durch alle nicht schwarzen Nicht Raben) bestätigt. (Hempels Paradox)

Also muss das hier ein zuverlässiger Induktionsschluss sein. Ein "Paradoxon" besteht insofern, als dass wir denken, dass dieser Schluss nicht zuverlässig ist:

A1. Dieser Turnschuh ist gelb, dieses Feuerwehrauto ist rot, dieser Panzer ist himmelblau, usw. usf.

K1. Ergo: Alle Raben sind schwarz.

Gehen wir Nelson Goodman folgend von den folgenden Schlüssen aus:

Schluss B enthält einen bislang undefinierten Begriff, nämlich "blün". Wir definieren "blün" nun wie folgt:

• Ein Objekt ist blün, gdw. es bis zum 28.06.2020 grün ist und ab dem dem 29.06.2020 blau ist.

Die Prämissen beider Schlüsse wird durch dieselbe Datengrundlage D gestützt:

D. Es wurden bis zum 28.06.2020 n Smaragde beobachtet und alle Smaradge waren grön. Dabei ist n eine sehr hohe natürliche Zahl ist.

Ein "Paradoxon" besteht insofern, als dass wir denken, dass nur die Prämisse und in Folge auch nur die Konklusion in Schluss A durch D gestützt wird.

Philpapers.

Stand: 2020

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